切比雪夫不等式及其推导 📊🧐

切比雪夫不等式是概率论中一个非常重要的定理，它为随机变量偏离其均值的程度提供了界限。无论数据分布如何，只要我们知道了随机变量的方差，就可以利用切比雪夫不等式来估计这个变量偏离其平均值的概率。

假设有一个随机变量X，其均值为μ，方差为σ²。切比雪夫不等式表明，对于任何正数k，随机变量X的取值落在μ±kσ之外的概率不会超过1/k²。换句话说，至少有(1-1/k²)的比例的数据点会落在μ±kσ的范围内。例如，如果k=2，则至少75%的数据点会位于μ±2σ之间，而最多只有25%的数据点会超出这个范围。

切比雪夫不等式的证明基于马尔可夫不等式。首先，我们定义一个新的随机变量Y=(X-μ)²，显然Y总是非负的。根据马尔可夫不等式，对于任意正数a，P(Y≥ak²)≤E[Y]/ak²。将Y替换回原式，即得到P((X-μ)²≥k²σ²)≤σ²/k²σ²=1/k²。因此，P(|X-μ|≥kσ)≤1/k²，这正是切比雪夫不等式的表达形式。